面積比を描いて理解して図形を得意に〜方眼紙のイメージ・面積比を計算して理解・四角形の相似形の面積比・大きい対象は小さく分割・問題10(4)ポイント〜｜面積の最小3・算数・過去問・中学受験

前回は「公式を暗記ではなく理解して学力アップ〜相似形の面積比・図形のイメージ・方眼紙と図形・問題10(4)ポイント〜」の話でした。

問題10(4)再掲載

面積比を描いて理解：方眼紙のイメージ

今回は、面積比の公式を考えて、しっかり理解しましょう。

上の二つの正三角形は「辺の長さは40%しか違わないのに、面積は約2倍になる」のです。

「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」が「なぜなのか？」を考えます。

例えば、相似比が 1: 3 の場合は、辺の長さが3倍になります。

全体的に、3倍になるので「面としては3×3=9倍に広がる」雰囲気を感じてください。

正三角形を方眼紙に描くことを考えてみましょう。

出来れば、方眼紙かグラフ用紙などに実際に描くと良いでしょう。

相似比が3ということは「辺の比が3倍」になるので、正三角形がグーっと広がってゆくイメージです。

元の正三角形が「一マス（1cmx1cm）」を基準とすることを考えます。

このように図形が「大きくなるイメージ」をつかみましょう。

「何かの理由」をしっかり説明できることが大事ですが、「なんとなく」の雰囲気も大事です。

面積比を計算して理解

きちんと説明するなら、三角形の面積を考えるために、垂線を引いてみましょう。

これらの「垂線の長さの比」を考えてみます。

相似形ですから、垂線の長さも1 : 3 になります。

そうすると、面積は上のように計算できます。

これで、三角形の場合は「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」が、はっきり分かりました。

四角形の相似形の面積比：大きい対象は小さく分割

四角形の場合はどうなるか考えてみましょう。

これも方眼紙の「辺の比に応じて、面が広がってゆく」イメージが大事です。

すると、同様に「相似形の面積比=(辺の比)x(辺の比)」と分かります。

しっかり考えてみましょう。

少し歪な四角形同士が相似形で、辺の比=1 : 3 です。

直感的には「同じはず」ですが、きちんと説明できますか？

少し考えてみましょう。

大きくなったら、分割してみましょう。

二つの三角形に分けました。

こうなると、先ほどの三角形の場合と一緒です。

それぞれの三角形の面積比が1 : 9 となります。

すると「それぞれの三角形を足しても面積比=1 : 9」になります。

小さく分割する考え方：階段を上がるイメージ

こうして考えると、五角形でも六角形でも「三角形に分割」すれば、同じように面積比が考えられます。

「小さく分ける」ことは非常に本質的なことで、分かりやすくなります。

分けてみると対象が小さくなって、考えやすくなります。

日常にある階段も「小さく分割する」の考え方で、作られています。

「一階から二階に一気に上がることは出来ない」です。

そこで、階段の段ごとに「高さを分割」します。

一気には上がれませんが、少しずつなら「上がれる」ようになります。

少しずつ学んで学力を上げる話を、上記リンクでご紹介しています。

図形に限らず、文章題でも「分けてみたらどうかな？」と考えることが大事です。

すると、解く鍵が見つかる可能性があります。

図形でも文章題でも「対象を小さくする・分ける・分割する」ことを考えてみると良いでしょう。

次回は下記リンクです。